Когда нам нужно получить одно число в качестве оценки параметра совокупности, мы используем точечную оценку. Тем не менее, из-за ошибки выборки, точечная оценка не будет в точности равняться параметру совокупности при любом размере данной выборки.
Часто, вместо точечной оценки, более полезным подходом будет найти диапазон значений, в рамках которого, как мы ожидаем, может находится значение искомого параметра с заданным уровнем вероятности.
Этот подход называется интервальной оценкой параметра (англ. ‘interval estimate of parameter’), а доверительный интервал выполняет роль этого диапазона значений.
Определение доверительного интервала.
Доверительный интервал (англ. ‘confidence interval’) представляет собой диапазон, для которого можно утверждать, с заданной вероятностью (1 — alpha ), называемой степенью доверия (или степенью уверенности, англ. ‘degree of confidence’), что он будет содержать оцениваемый параметр.
Этот интервал часто упоминается как (100 (1 — alpha)% ) доверительный интервал для параметра.
Конечные значения доверительного интервала называются нижним и верхним доверительными пределами (или доверительными границами или предельной погрешностью, англ. ‘lower/upper confidence limits’).
В этом чтении, мы имеем дело только с двусторонними доверительными интервалами — доверительные интервалами, для которых мы вычисляем и нижние и верхние пределы.
Кроме того, можно определить два типа односторонних доверительных интервалов для параметра совокупности.
Нижний односторонний доверительный интервал устанавливает только нижний предел. Это означает допущение, что с определенной степенью доверия параметр совокупности равен или превышает нижний предел.
Верхний односторонний доверительный интервал устанавливает только верхний предел. Это означает допущение, что с определенной степенью доверия параметр совокупности меньше или равен верхнему пределу.
Инвестиционные аналитики редко используют односторонние доверительные интервалы.
Доверительные интервалы часто дают либо вероятностную интерпретацию, либо практическую интерпретацию.
При вероятностной интерпретации, мы интерпретируем 95%-ный доверительный интервал для среднего значения совокупности следующим образом.
При повторяющейся выборке, 95% таких доверительных интервалов будут, в конечном счете, включать в себя среднее значение совокупности.
Например, предположим, что мы делаем выборку из совокупности 1000 раз, и на основании каждой выборки мы построим 95%-ный доверительный интервал, используя вычисленное выборочное среднее.
Из-за случайного характера выборок, эти доверительные интервалы отличаются друг от друга, но мы ожидаем, что 95% (или 950) этих интервалов включают неизвестное значение среднего по совокупности.
На практике мы обычно не делаем такие повторяющиеся выборки. Поэтому в практической интерпретации, мы утверждаем, что мы 95% уверены в том, что один 95%-ный доверительный интервал содержит среднее по совокупности.
Мы вправе сделать это заявление, потому что мы знаем, что 95% всех возможных доверительных интервалов, построенных аналогичным образом, будут содержать среднее по совокупности.
Доверительные интервалы, которые мы обсудим в этом чтении, имеют структуры, подобные описанной ниже базовой структуре.
Построение доверительных интервалов.
Доверительный интервал (100 (1 — alpha)% ) для параметра имеет следующую структуру.
Точечная оценка (pm) Фактор надежности ( imes) Стандартная ошибка
- Точечная оценка = точечная оценка параметра (значение выборочной статистики).
- Фактор надежности (англ. ‘reliability factor’) = коэффициент, основанный на предполагаемом распределении точечной оценки и степени доверия ((1 — alpha)) для доверительного интервала.
- Стандартная ошибка = стандартная ошибка выборочной статистики, значение которой получено с помощью точечной оценки.
Величину (Фактор надежности) ( imes) (Cтандартная ошибка) иногда называют точностью оценки (англ. ‘precision of estimator’). Большие значения этой величины подразумевают более низкую точность оценки параметра совокупности.
Самый базовый доверительный интервал для среднего значения по совокупности появляется тогда, когда мы делаем выборку из нормального распределения с известной дисперсией. Фактор надежности в данном случае на основан стандартном нормальном распределении, которое имеет среднее значение, равное 0 и дисперсию 1.
Стандартная нормальная случайная величина обычно обозначается как (Z). Обозначение (z_alpha ) обозначает такую точку стандартного нормального распределения, в которой (alpha) вероятности остается в правом хвосте.
Предположим, что мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего по совокупности, и для этой цели, мы сделали выборку размером 100 из нормально распределенной совокупности с известной дисперсией (sigma^2) = 400 (значит, (sigma) = 20).
Мы рассчитываем выборочное среднее как ( overline X = 25 ). Наша точечная оценка среднего по совокупности, таким образом, 25.
Если мы перемещаем 1.96 стандартных отклонений выше среднего значения нормального распределения, то 0.025 или 2.5% вероятности остается в правом хвосте. В силу симметрии нормального распределения, если мы перемещаем 1.96 стандартных отклонений ниже среднего, то 0.025 или 2.5% вероятности остается в левом хвосте.
В общей сложности, 0.05 или 5% вероятности лежит в двух хвостах и 0.95 или 95% вероятности лежит между ними.
Стандартная ошибка среднего значения выборки, заданная Формулой 1, равна:
Доверительный интервал, таким образом, имеет нижний предел:
Верхний предел доверительного интервала равен:
95%-ный доверительный интервал для среднего по совокупности охватывает значения от 21.08 до 28.92.
Доверительные интервалы для среднего по совокупности (нормально распределенная совокупность с известной дисперсией).
Доверительный интервал (100 (1 — alpha)% ) для среднего по совокупности ( mu ), когда мы делаем выборку из нормального распределения с известной дисперсией ( sigma^2 ) задается формулой:
Факторы надежности для наиболее часто используемых доверительных интервалов приведены ниже.
Факторы надежности для доверительных интервалов на основе стандартного нормального распределения.
Мы используем следующие факторы надежности при построении доверительных интервалов на основе стандартного нормального распределения:
Эти факторы надежности подчеркивают важный факт о всех доверительных интервалах. По мере того, как мы повышаем степень доверия, доверительный интервал становится все шире и дает нам менее точную информацию о величине, которую мы хотим оценить.
«Чем уверенней мы хотим быть, тем меньше мы должны быть уверены»
На практике, допущение о том, что выборочное распределение выборочного среднего, по меньшей мере, приблизительно нормальное, часто является обоснованным, либо потому, что исходное распределение приблизительно нормальное, либо потому что мы имеем большую выборку и поэтому к ней применима центральная предельная теорема.
Однако, на практике, мы редко знаем дисперсию совокупности. Когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна, но выборочное среднее, по меньшей мере, приблизительно нормально распределено, у нас есть два приемлемых пути чтобы вычислить доверительные интервалы для среднего значения совокупности.
Вскоре мы обсудим более консервативный подход, который основан на t-распределении Стьюдента (t-распределение, для краткости).
Распределение статистики (t) называется t-распределением Стьюдента (англ. «Student’s t-distribution») из-за псевдонима «Студент» (Student), использованного британским математиком Уильямом Сили Госсеттом, который опубликовал свою работу в 1908 году.
В финансовой литературе, это наиболее часто используемый подход для статистической оценки и проверки статистических гипотез, касающихся среднего значения, когда дисперсия генеральной совокупности не известна, как для малого, так и для большого размер выборки.
Второй подход к доверительным интервалам для среднего по совокупности, основанного на стандартном нормальном распределении, — это z-альтернатива (англ. ‘z-alternative’). Он может быть использован только тогда, когда размер выборки является большим (в общем случае, размер выборки 30 или больше, можно считать большим).
В отличии от доверительного интервала, приведенного в Формуле 4, этот доверительный интервал использует стандартное отклонение выборки (s) при вычислении стандартной ошибки выборочного среднего (по Формуле 2).
Доверительные интервалы для среднего по совокупности — z-альтернатива (большая выборка, дисперсия совокупности неизвестна).
Доверительный интервал (100 (1 — alpha)% ) для среднего по совокупности ( mu ) при выборке из любого распределения с неизвестной дисперсией, когда размер выборки большой, задается формулой:
Пример (4) расчета доверительного интервала для среднего по совокупности коэффициентов Шарпа с использованием z-статистики.
Предположим, что инвестиционный аналитик делает случайную выборку акций взаимных фондов США и рассчитывает средний коэффициент Шарпа.
Размер выборки равен 100, а средний коэффициент Шарпа составляет 0.45. Выборка имеет стандартное отклонение 0.30.
Рассчитайте и интерпретируйте 90-процентный доверительный интервал для среднего по совокупности всех акций взаимных фондов США с использованием фактора надежности на основе стандартного нормального распределения.
Доверительный интервал будет равен:
Доверительный интервал охватывает значения 0.4005 до 0.4995, или от 0.40 до 0.50, с округлением до двух знаков после запятой. Аналитик может сказать с 90-процентной уверенностью, что интервал включает среднее по совокупности.
В этом примере аналитик не делает никаких конкретных предположений о распределении вероятностей, характеризующем совокупность. Скорее всего, аналитик опирается на центральную предельную теорему для получения приближенного нормального распределения для выборочного среднего.
Как показывает Пример 4, даже если мы не уверены в характере распределения совокупности, мы все еще можем построить доверительные интервалы для среднего по совокупности, если размер выборки достаточно большой, поскольку можем применить центральную предельную теорему.
Концепция степеней свободы.
Обратимся теперь к консервативной альтернативе и используем t-распределение Стьюдента, чтобы построить доверительные интервалы для среднего по совокупности, когда дисперсия генеральной совокупности не известна.
Для доверительных интервалов на основе выборок из нормально распределенных совокупностей с неизвестной дисперсией, теоретически правильный фактор надежности основан на t-распределении. Использование фактора надежности, основанного на t-распределении, имеет важное значение для выборок небольшого размера.
Применение фактора надежности (t) уместно, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна, даже если у нас есть большая выборка и мы можем использовать центральную предельную теорему для обоснования использования фактора надежности (z). В этом случае большой выборки, t-распределение обеспечивает более консервативные (широкие) доверительные интервалы.
t-распределение является симметричным распределением вероятностей и определяется одним параметром, известным как степени свободы (DF, от англ. ‘degrees of freedom’). Каждое значение для числа степеней свободы определяет одно распределение в этом семействе распределений.
Далее мы сравним t-распределения со стандартным нормальным распределением, но сначала мы должны понять концепцию степеней свободы. Мы можем сделать это путем изучения расчета выборочной дисперсии.
Формула 3 дает несмещенную оценку выборочной дисперсии, которую мы используем. Выражение в знаменателе, ( n — 1 ), означающее размер выборки минус 1, это число степеней свободы при расчете дисперсии совокупности с использованием Формулы 3.
Мы также используем ( n — 1 ) как число степеней свободы для определения факторов надежности на основе распределения Стьюдента. Термин «степени свободы» используются, так как мы предполагаем, что в случайной выборке наблюдения отобраны независимо друг от друга. Числитель выборочной дисперсии, однако, использует выборочное среднее.
Каким образом использование выборочного среднего влияет на количество наблюдений, отобранных независимо, для формулы выборочной дисперсии?
При выборке размера 10 и среднем значении в 10%, к примеру, мы можем свободно отобрать только 9 наблюдений. Независимо от отобранных 9 наблюдений, мы всегда можем найти значение для 10-го наблюдения, которое дает среднее значение, равное 10%. С точки зрения формулы выборочной дисперсии, здесь есть 9 степеней свободы.
Учитывая, что мы должны сначала вычислить выборочное среднее от общего числа (n) независимых наблюдений, только (n — 1) наблюдений могут быть отобраны независимо друг от друга для расчета выборочной дисперсии.
Концепция степеней свободы часто применяется в финансовой статистике, и вы встретите ее в последующих чтениях.
T-распределение Стьюдента.
Предположим, что мы делаем выборку из нормального распределения.
Коэффициент (z = (overline X — mu) Big / (sigma ig / sqrt n) ) нормально распределен со средним значением 0 и стандартным отклонением 1, однако, коэффициент (t = (overline X — mu) Big / (s ig / sqrt n) ) следует t-распределению со средним 0 и (n — 1) степеней свободы.
Коэффициент (t) не является нормальным, поскольку представляет собой отношение двух случайных величин, выборочного среднего и стандартного отклонения выборки.
Определение стандартной нормальной случайной величины включает в себя только одну случайную величину, выборочное среднее. По мере увеличения степеней свободы, однако, t-распределение приближается к стандартному нормальному распределению.
На Рисунке 1 показано стандартное нормальное распределение и два t-распределения, одно с DF = 2 и одно с DF = 8.
Рисунок (1) t-распределение Стьюдента по сравнению со стандартным нормальным распределением.
Из трех распределений, показанных на Рисунке 1, стандартное нормальное распределение имеет хвосты, которые стремятся к нулю быстрее, чем хвосты двух t-распределений. t-распределение симметрично распределено вокруг среднего нулевого значения, так же как и нормальное распределение.
По мере увеличения степеней свободы, t-распределение приближается к стандартному нормальному распределению. t-распределение с DF = 8 ближе к стандартному нормальному, чем t-распределение с DF = 2.
Помимо области плюс и минус четырех стандартных отклонений от среднего значения, остальная область под стандартным нормальным распределением, как представляется, близка к 0. Однако, оба t-распределения содержать некоторую площадь под каждой кривой за пределом четырех стандартных отклонений.
t-распределения имеют более толстые хвосты, но хвосты t-распределения Стьюдента с DF = 8 сильнее напоминают хвосты нормального распределения. По мере увеличения степеней свободы, хвосты распределения Стьюдента становятся менее толстыми.
для DF = 30,
Приведем форму доверительных интервалов для среднего по совокупности, используя распределение Стьюдента.
Доверительные интервалы для среднего по совокупности (дисперсия совокупности неизвестна) — t-распределение.
Если мы делаем выборку из генеральной совокупности с неизвестной дисперсией и соблюдается одно из перечисленных ниже условий:
- выборка является большой, или
- выборка небольшая, но совокупность имеет нормальное распределение, или приблизительно нормально распределена,
то доверительный интервал (100 (1 — alpha)% ) для среднего совокупности ( mu ) задается формулой:
Пример 5 использует данные Примера 4, но применяет t-статистику, а не z-статистику, чтобы рассчитать доверительный интервал для среднего значения совокупности коэффициентов Шарпа.
Пример (5) расчета доверительного интервала для среднего по совокупности коэффициентов Шарпа с использованием t-статистики.
Как и в Примере 4, инвестиционный аналитик стремится вычислить 90-процентный доверительный интервал для среднего по совокупности коэффициентов Шарпа, основанных на случайной выборке из 100 взаимных фондов США.
Выборочное среднее коэффициентов Шарпа составляет 0.45, а выборочное стандартное отклонение — 0.30.
Теперь, признав, что дисперсия генеральной совокупности распределения коэффициентов Шарпа неизвестна, аналитик решает вычислить доверительный интервал, используя теоретически правильную t-статистику.
Доверительный интервал будет:
Доверительный интервал охватывает значения 0.4002 до 0.4998, или 0.40 до 0.50, с двумя знаками после запятой. При округлении до двух знаков после запятой, доверительный интервал не изменился по сравнению с Примером 4.
В Таблице 3 приведены различные факторы надежности, которые мы использовали.
* Использование (z) также приемлемо.
- Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.
- Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.
- Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.
- Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:
- Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.
- Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.
- Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.
Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу: - Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:
- Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.
Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид: - Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:
- Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.
В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего. - В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.
- Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.
В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом: - В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:
- Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.
В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624. - В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.
- Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.
Советы
- Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
- В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.
Об этой статье
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование СРЗНАЧЕСЛИ функция в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает среднее значение (среднее арифметическое) всех ячеек в диапазоне, которые соответствуют данному условию.
Синтаксис
Аргументы функции СРЗНАЧЕСЛИ указаны ниже.
Диапазон. Обязательный. Одна или несколько ячеек для вычисления среднего, включающих числа или имена, массивы или ссылки, содержащие числа.
Диапазон_усреднения. Необязательный. Фактическое множество ячеек для вычисления среднего. Если этот параметр не указан, используется диапазон.
Замечания
Ячейки в диапазоне, которые содержат значения ИСТИНА или ЛОЖЬ, игнорируются.
Если ячейка в «диапазоне_усреднения» пустая, функция СРЗНАЧЕСЛИ игнорирует ее.
Если диапазон является пустым или текстовым значением, СРЗНАЧЕСЛИ Возвращает #DIV0! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если ни одна из ячеек в диапазоне не удовлетворяет критерию, СРЗНАЧЕСЛИ Возвращает #DIV/0! значение ошибки #ДЕЛ/0!.
В этом аргументе можно использовать подстановочные знаки: вопросительный знак (?) и звездочку (*). Вопросительный знак соответствует любому одиночному символу; звездочка — любой последовательности символов. Если нужно найти сам вопросительный знак или звездочку, то перед ними следует поставить знак тильды (
Значение «диапазон_усреднения» не обязательно должно совпадать по размеру и форме с диапазоном. При определении фактических ячеек, для которых вычисляется среднее, в качестве начальной используется верхняя левая ячейка в «диапазоне_усреднения», а затем добавляются ячейки с совпадающим размером и формой. Например:
Если диапазон равен
Примечание: Функция СРЗНАЧЕСЛИ измеряет среднее значение, то есть центр набора чисел в статистическом распределении. Существует три наиболее распространенных способа определения среднего значения: :
Среднее значение — это среднее арифметическое, которое вычисляется путем сложения набора чисел с последующим делением полученной суммы на их количество. Например, средним значением для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 5, которое является результатом деления их суммы, равной 30, на их количество, равное 6.
Медиана — это число, которое является серединой множества чисел, то есть половина чисел имеют значения большие, чем медиана, а половина чисел имеют значения меньшие, чем медиана. Например, медианой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 4.
Мода — это число, наиболее часто встречающееся в данном наборе чисел. Например, модой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 3.
При симметричном распределении множества чисел все три значения центральной тенденции будут совпадать. При смещенном распределении множества чисел значения могут быть разными.
Примеры
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
How to dou
Когда вы создаете граф в Excel и ваши данные являются средствами, рекомендуется включить стандартную ошибку каждого значения на вашем графике. Это дает зрителю представление о распространении баллов вокруг каждого среднего.
Вот пример ситуации, когда это возникает. Данные являются (вымышленными) результатами тестов для четырех групп людей. Каждый заголовок столбца указывает количество времени подготовки для восьми человек в группе. Вы можете использовать графические возможности Excel для рисования графика. Поскольку независимая переменная является количественной, граф линии является подходящим.
Четыре группы, их средства, стандартные отклонения и стандартные ошибки. На графике показаны групповые средства.
Для каждой группы вы можете использовать AVERAGE для вычисления среднего и STDEV. S для вычисления стандартного отклонения. Вы можете рассчитать стандартную ошибку каждого среднего. Выберите ячейку B12, поэтому в поле формулы показано, что вы вычислили стандартную ошибку для столбца B по этой формуле:
= B11 / SQRT (COUNT (B2: B9))
Фокус в том, чтобы получить каждую стандартную ошибку в графике. В Excel 2016 это легко сделать, и оно отличается от предыдущих версий Excel. Начните с выбора графика. Это приведет к появлению вкладок Design and Format. Выберите
Путь к вставке баров ошибок.
В меню «Бары ошибок» вы должны быть осторожны. Один из вариантов — стандартная ошибка. Избегай это. Если вы считаете, что этот выбор указывает Excel на стандартную ошибку каждого значения на графике, будьте уверены, что Excel не имеет абсолютно никакого представления о том, о чем вы говорите. Для этого выбора Excel вычисляет стандартную ошибку набора из четырех средств — не стандартную ошибку в каждой группе.
Дополнительные параметры панели ошибок являются подходящим выбором. Откроется панель «Формат ошибок».
Панель «Ошибки формата».
В области «Направление» панели выберите переключатель рядом с «Оба», а в области «Стиль конца» выберите переключатель рядом с «Кап».
Один выбор в области «Сумма ошибки» — это стандартная ошибка. Избегайте этого. Это не означает, что Excel помещает стандартную ошибку каждого среднего на график.
Прокрутите вниз до области «Сумма ошибки» и выберите переключатель рядом с «Пользовательский». Это активирует кнопку «Укажите значение». Нажмите эту кнопку, чтобы открыть диалоговое окно «Пользовательские ошибки». С помощью курсора в поле «Положительное значение ошибки» выберите диапазон ячеек, который содержит стандартные ошибки ($ B $ 12: $ E $ 12). Вставьте вкладку «Отрицательная ошибка» и сделайте то же самое.
Диалоговое окно «Нестандартные ошибки».
Это поле Negative Error Value может дать вам небольшую проблему. Перед тем, как вводить диапазон ячеек, убедитесь, что он очищен от значений по умолчанию.
Нажмите «ОК» в диалоговом окне «Нестандартные ошибки» и закройте диалоговое окно «Формат ошибок», и график будет выглядеть следующим образом.
График группы означает, включая стандартную ошибку каждого среднего.
Стандартная ошибка средней арифметической
Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).
Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.
Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).
Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.
Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?
Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической
Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:
где xi – значения переменной, n – количество значений.
Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение xi обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:
Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:
где σ 2 – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.
На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:
Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.
Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии
Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии
Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.
Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической
Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:
Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.
Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).
Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.
Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.
Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.
Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.
Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.
Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.
Стандартная ошибка в Excel
Расчет с помощью комбинаций функций
На примере рассмотрим составленный алгоритм действий по расчету ошибки средней арифметической с использованием комбинаций функций. Для того чтобы выполнить задачу, нужно использовать операторы СТАНДОТКЛОН.В, КОРЕНЬ и СЧЁТ. Выборка будет использоваться из 12 чисел, которые представлены в таблице.
Выделите ячейку, в которой отобразится итоговое значение стандартной ошибки. Кликаете на иконку «Вставить функцию».
Появится Мастер функций, в котором нужно произвести перемещение в блок «Статистические». Появится список наименований, выбираете «СТАНДОТКЛОН.В».
Должен снова запуститься Мастер функций, в котором нужно перейти в категорию «Математические». Выделяете там «КОРЕНЬ» и кликаете ОК.
Появится раскрывшееся окно Мастера функций, в котором нужно переместиться в группу «Статистические». В ней выделяете «СЧЕТ» и кликаете ОК.
Когда будет выполнено последнее действие, то не только произведется расчет количества ячеек, которые заполнены числами, но и вычисляется ошибка средней арифметической. Величина будет выведена в ячейку с размещенной сложной формулой, вид которой таков — =СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)).
Если выборка до 30 единиц, тогда лучше применять немного другую формулу — =СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)-1).
Применение инструмента «Описательная статистика»
Когда будет открыт документ с выборкой, нужно перейти во вкладку «Файл».
В левом вертикальном меню заходите в раздел «Параметры».
Должно запуститься окно параметров Excel, в левой части которого нужно перейти в «Надстройки».
В окне надстроек появится список скриптов, которые доступны и нужно отметить галочкой «Пакет анализа», а затем нажать ОК.
Теперь на странице должна появиться новая группа инструментов «Анализ». Для перехода к ней кликаете на вкладку «Данные».
Кликаете на «Анализ данных» в блоке инструментов «Анализ» в самом конце.
Запустится окно выбора инструмента анализа, в котором необходимо выделить «Описательная статистика» и нажать справа на ОК.
Далее запустится окно настроек инструмента комплексного статистического анализа «Описательная статистика». Здесь нужно установить все так, в зависимости от того, что именно вы хотите получить в итоге.
После всех совершенных манипуляций, инструмент «Описательная статистика» должен отобразить результаты обработки выборки на текущем листе. Разноплановых статистических показателей будет немало, но среди них находится и тот, который нам нужен – «Стандартная ошибка».
Функция СРЗНАЧЕСЛИ
Проверка гипотез о среднем значении является одной из наиболее распространенных задач проверки гипотез на практике. В этом разделе мы рассмотрим несколько различных типов проверки средних.
Одним из типов является проверка равенства (или больше или меньше) среднего одной совокупности некоторому гипотетическому значению. Другие типы проверок связаны с проверкой гипотез о средних значениях, основанных на двух выборках.
Является ли наблюдаемое различие между двумя выборочными средними случайным или связано с различными средними значениями совокупностей, лежащих в основе этих выборок?
Когда у нас есть две случайные выборки, которые не зависят друг от друга (т.е. нет никаких связей между измерениями в одной выборке и измерениями в другой), применяется проверка гипотез о разнице между средними. Если же выборки зависят друг от друга, применяется проверка гипотез о среднем значении разности наблюдений.
Когда мы хотим проверить, равны ли средние по совокупности более чем двух совокупностей, мы используем дисперсионный анализ или ANOVA (от англ. ‘ANalysis Of VAriance’). Мы рассмотрим ANOVA в наиболее распространенном его применении, регрессионном анализе, далее — в чтении о корреляционном и регрессионном анализе.
Проверки гипотез, касающиеся одного среднего значения.
Финансовый аналитик, который хочет, чтобы проверить гипотезу о среднем значении совокупности, проводит t-тест в подавляющем большинстве случаев. t-тест (англ. ‘t-test’) представляет собой проверку гипотезы с использованием статистики (t-статистики), которая соответствует t-распределению.
t-распределение (распределение Стьюдента) является распределением вероятности, которое определяется одним параметром, известным как степени свободы (df). Каждое значение степеней свободы определяет одно распределение в этом семействе распределений.
Распределение Стьюдента тесно связано со стандартным нормальным распределением. Подобно стандартному нормальному распределению, t-распределение является симметричным со средним значением, равным нулю. Тем не менее, распределение Стьюдента более растянуто в стороны:
Оно имеет стандартное отклонение больше 1 (по сравнению с 1 у стандартного нормального распределения) и большую вероятность исходов, удаленных от среднего значения (т.е. оно имеет более толстые хвосты, чем стандартное нормальное распределение).
Формула дисперсии t-распределения:
При увеличении числа степеней свободы с увеличением размера выборки, растянутость t-распределения в стороны уменьшается и t-распределение приближается к стандартному нормальное распределение как к пределу.
Почему распределение Стьюдента так важно для проверки гипотез, касающихся одного среднего значения?
На практике инвестиционные аналитики должны оценить стандартное отклонение совокупности путем вычисления стандартного отклонения выборки. То есть, дисперсия генеральной совокупности (или стандартное отклонение) неизвестно.
Для проверки гипотез относительно среднего по совокупности нормально распределенной совокупности с неизвестной дисперсией, теоретически корректной тестовой статистикой является t-статистика.
Что делать, если нормальное распределение не описывает совокупность?
t-тест является надежным способом смягчить отклонение от нормальности, за исключением ситуаций, когда в распределении есть выбросы и сильная асимметрия.
См. Moore, McCabe и Craig (2016). Статистический показатель является устойчивым, если необходимые расчеты вероятности нечувствительны к нарушениям предположений.
Когда мы имеем дело с большими выборками, отклонение распределения от нормального, вызывают меньше беспокойства.
Выборочное среднее приблизительно нормально распределено при больших выборках, в соответствии с центральной предельной теоремой, независимо от распределения, описывающего совокупность. В целом, выборку размером 30 или более, как правило, можно рассматривать как большую выборку, а выборка размером 29 или менее рассматривается как небольшая выборка.
Хотя это обобщение полезно, следует учитывать, что размер выборки, необходимый для получения приблизительно нормального распределения выборки для выборочного среднего, зависит от того, насколько не нормальна базовая совокупность.
Для некоторых совокупностей, «большим» размером выборки может быть размер, намного больше 30.
Тестовая статистика для проверки гипотез о среднем по совокупности (при неизвестной дисперсии совокупности).
Если совокупность, из которой делается выборка, имеет неизвестную дисперсию и выполняется одно из условий, перечисленных ниже:
- выборка является большой, или
- выборка небольшая, но лежащая в основе выборки совокупность имеет нормальное распределение, или приблизительно нормально распределено,
то тестовая статистика для проверки гипотез, касающихся одного среднего значения по совокупности, рассчитывается по формуле:
- ( overline X ) = выборочное среднее
- (mu_0) = гипотетическое значение среднего по совокупности
- (s) = стандартное отклонение выборки
Здесь требуется техническое примечание, для справки.
Когда выборка отбирается из конечной совокупности, оценка стандартной ошибки среднего по Формуле 2 или 3, переоценивает (завышает) истинную стандартную ошибку.
Для решения этой проблемы, вычисленная стандартная ошибка умножается на уменьшающий коэффициент, который называется поправкой для конечной совокупности (или FPC, от англ. ‘finite population correction factor’).
Когда размер выборки мал по отношению к размеру совокупности (менее 5% от размера совокупности), то FPC обычно игнорируются.
Проблема завышения стандартной ошибки возникает только при обычном отборе выборки без замены (после отбора элемента, он не может быть отобран снова), в отличии от выборки с заменой.
В приведенном ниже Примере 1 размер выборки мал, поэтому эта проверка гипотезы называется проверкой гипотезы о среднем значении небольшой выборки.
Пример (1) проверки гипотезы о риске и доходности взаимного инвестиционного фонда.
Вы анализируете Sendar Equity Fund, взаимный фонд растущих акций со средней капитализацией, который существует уже 24 месяца. В течение этого периода, фонд достиг средней ежемесячной доходности в 1.50% с выборочным стандартным отклонением месячной доходности 3.60%.
Учитывая уровень систематических (рыночных) рисков фонда и его модель ценообразования, Sendar Equity Fund, как ожидается, заработал 1.10% среднемесячной доходности в течение этого периода времени.
- Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы в соответствии со словесным описанием цели исследования.
- Определите критические значения для проверки гипотез из части 1 при уровне значимости 0.10.
Решение для части 1:
У нас имеется альтернативная гипотеза «не равно», где (mu) является средней по совокупности доходностью Sendar Equity Fund.
Таким образом, мы имеем нулевую гипотезу (H_0: mu = 1:10) против альтернативной гипотезы (H_a: mu
eq 1:10).
Решение для части 2:
Поскольку дисперсия генеральной совокупности неизвестна, мы используем t-тест с 24 — 1 = 23 степенями свободы.
Решение для части 3:
Решение для части 4:
Подход доверительного интервала позволяет взглянуть иначе на эту проверку гипотезу.
Теоретически правильный доверительный интервал (100 (1 — alpha)%) для среднего по совокупности, на основе нормального распределения с неизвестной дисперсией, при выборке размера (n), будет составлять:
При уровне значимости 10%, мы приходим к выводу, что средняя по совокупности месячная доходность 1.10% согласуется с 24-месячными наблюдаемыми рядами данных. Обратите внимание, что уровень значимости 10% означает относительно высокую вероятность отвергнуть гипотезу о 1.10% средней по совокупности месячной доходности, когда эта гипотеза верна.